Differential equations & physical simulationPersamaan diferensial & simulasi fisika
Almost every law of physics is written as a differential equation: a rule that ties a quantity to its own rate of change. This playground starts from the very idea of a slope and builds up to chaos and to the equations behind heat and sound — the same equations that scientific machine learning later tries to learn. You only need one idea from calculus: a derivative is a rate of change.
Hampir setiap hukum fisika ditulis sebagai persamaan diferensial: aturan yang mengikat suatu besaran dengan laju perubahannya sendiri. Playground ini bermula dari ide paling dasar tentang kemiringan lalu naik ke chaos dan ke persamaan di balik panas dan bunyi — persamaan yang sama yang kelak coba dipelajari scientific machine learning. Kamu hanya perlu satu ide dari kalkulus: turunan adalah laju perubahan.
Part 1 of 2 · once these feel natural, continue toBagian 1 dari 2 · setelah ini terasa alami, lanjut ke Scientific machine learning →
It never hands you the answer. It says: "wherever you are, here is the direction you must move next." Draw that direction as a tiny arrow at every point and you get a slope field. Solving means following the arrows from a starting point — that is the whole idea the rest of the playground builds on.
Ia tak pernah memberimu jawaban. Ia berkata: "di mana pun kamu berada, inilah arah yang harus kamu tempuh berikutnya." Gambar arah itu sebagai panah kecil di setiap titik dan kamu memperoleh slope field (medan kemiringan). Menyelesaikannya berarti mengikuti panah dari sebuah titik awal — itulah keseluruhan ide yang dibangun sisa playground ini.
Click anywhere on the chart to drop a starting point (an initial condition) and watch Euler's method follow the arrows from there.
Klik di mana saja pada grafik untuk menaruh titik awal (sebuah kondisi awal) dan lihat metode Euler mengikuti panah dari situ.
Euler's method stands at a point, reads the local slope $f(t,y)$, walks straight in that direction for a small time $h$, and repeats. That single line of code is the ancestor of every physics engine and weather model. Notice what the equation gives you: not the answer, only the rule the answer must obey — remember that when you meet PINNs next door.
Metode Euler berdiri di sebuah titik, membaca kemiringan lokal $f(t,y)$, melangkah lurus ke arah itu selama waktu kecil $h$, lalu mengulang. Satu baris kode itu adalah leluhur setiap physics engine dan model cuaca. Perhatikan apa yang diberikan persamaan: bukan jawabannya, hanya aturan yang harus dipatuhi jawaban — ingat itu saat kamu bertemu PINN di seberang.
Acceleration is the second derivative of position, so "force sets acceleration" is a rule about derivatives — and simulating motion means solving it step by step. Feel the two systems every physics course starts with, and discover why serious engines don't use plain Euler.
Percepatan adalah turunan kedua dari posisi, jadi "gaya menentukan percepatan" adalah aturan tentang turunan — dan mensimulasikan gerak berarti menyelesaikannya langkah demi langkah. Rasakan dua sistem yang selalu jadi pembuka setiap kuliah fisika, dan temukan kenapa engine serius tak memakai Euler biasa.
A second derivative is scary, so we split it into two first-order rules — position changes at the rate velocity, and velocity changes at the rate force ÷ mass. Now it is tab 1 twice at once. RK4 (Runge–Kutta) probes the slope four times inside each step and blends them, like checking the road ahead before committing to a turn.
Turunan kedua itu menakutkan, jadi kita pecah menjadi dua aturan orde-satu — posisi berubah dengan laju kecepatan, dan kecepatan berubah dengan laju gaya ÷ massa. Kini ini tab 1 dua kali sekaligus. RK4 (Runge–Kutta) menjajaki kemiringan empat kali dalam tiap langkah lalu memadukannya, seperti mengintip jalan di depan sebelum benar-benar berbelok.
The Lorenz system is three simple ODEs with no randomness at all. Yet two starts a millionth apart end up in totally different places — the butterfly effect. And the trajectory never repeats or settles: it traces a strange, winged shape called an attractor. This is where "we know the equation exactly" and "we can't predict the future" stop being opposites.
Sistem Lorenz adalah tiga ODE sederhana tanpa keacakan sama sekali. Namun dua awal yang berselisih sepersejuta berakhir di tempat yang sama sekali berbeda — efek kupu-kupu. Dan lintasannya tak pernah berulang atau mengendap: ia menggambar bentuk aneh bersayap yang disebut attractor. Di sinilah "kita tahu persamaannya persis" dan "kita tak bisa meramal masa depan" berhenti jadi dua hal yang bertentangan.
Twin B starts this far from twin A. Shrinking the gap 1000× buys only a little extra forecast time — that is the whole tragedy of chaos.
Kembar B mulai sejauh ini dari kembar A. Memperkecil selisih 1000× hanya menambah sedikit waktu ramalan — itulah tragedi chaos sepenuhnya.
A straight line on this log plot means the gap grows by a constant factor every second — exponential divergence. Its slope is the Lyapunov exponent; positive slope = chaos. The line flattens only when the twins are as far apart as the attractor is wide (they can't diverge further).
Garis lurus pada plot log ini berarti selisih tumbuh dengan faktor konstan tiap detik — divergensi eksponensial. Kemiringannya adalah eksponen Lyapunov; kemiringan positif = chaos. Garisnya mendatar hanya ketika kedua kembar sudah sejauh lebar attractor (tak bisa lebih menyimpang lagi).
Three variables feeding back on each other — that is all. The nonlinear terms $xz$ and $xy$ are what make it chaotic; drop them and the system becomes a boring damped spiral.
Tiga variabel yang saling mengumpan balik — itu saja. Suku nonlinear $xz$ dan $xy$-lah yang membuatnya chaotic; hilangkan keduanya dan sistem jadi spiral teredam yang membosankan.
Lorenz did not invent these equations for fun: he boiled the physics of air heated from below (a room, the atmosphere, a pot of water) down to three numbers. x = how fast the air is rolling over, y = the temperature gap between the rising and sinking streams, z = how far the vertical temperature profile has bent from a straight line. Warm air rises, cools, sinks, and shoves the roll — that feedback is the $xz$ and $xy$ terms.
Lorenz tak menyusun persamaan ini untuk main-main: ia memampatkan fisika udara yang dipanaskan dari bawah (sebuah ruangan, atmosfer, panci air) menjadi tiga angka. x = seberapa cepat udara berguling, y = selisih suhu antara aliran yang naik dan turun, z = seberapa jauh profil suhu vertikal membengkok dari garis lurus. Udara hangat naik, mendingin, turun, lalu mendorong gulungan — umpan balik itulah suku $xz$ dan $xy$.
So the butterfly you see is a stripped-down atmosphere, and the twin experiment is two weather forecasts started from almost-identical measurements. They agree, then abruptly don't — which is exactly why real forecasts fade out after a week or two. Nothing here is random. It is three lines of arithmetic, run forward. Unpredictable and deterministic at the same time.
Jadi kupu-kupu yang kamu lihat adalah atmosfer yang disederhanakan, dan eksperimen kembar itu adalah dua ramalan cuaca yang dimulai dari pengukuran yang nyaris identik. Keduanya sepakat, lalu tiba-tiba tidak — itulah persis kenapa ramalan sungguhan memudar setelah seminggu-dua minggu. Tak ada yang acak di sini. Ini tiga baris aritmetika, dijalankan maju. Tak terramalkan dan deterministik sekaligus.
So far the unknown depended on time alone. A partial differential equation (PDE) lets it depend on space too: $u(x,t)$, the height of a string at position $x$ and time $t$. The wave equation says each little piece accelerates toward the average of its neighbours — pluck it and the shape travels. Same derivative-rule idea, now spread across a whole line.
Sejauh ini yang dicari hanya bergantung pada waktu. Sebuah persamaan diferensial parsial (PDE) membuatnya bergantung pada ruang juga: $u(x,t)$, tinggi senar di posisi $x$ dan waktu $t$. Persamaan gelombang bilang tiap potongan kecil dipercepat menuju rata-rata tetangganya — petik ia dan bentuknya merambat. Ide aturan-turunan yang sama, kini tersebar di sepanjang garis.
Or drag on the string to shape it, then press play.
Atau seret pada senar untuk membentuknya, lalu tekan putar.
Like pushing a child on a swing: at whole-number humps the whole string locks into a clean standing wave — resonance. Between them it stays choppy.
Seperti mendorong anak di ayunan: pada punuk bilangan bulat seluruh senar mengunci jadi gelombang berdiri yang rapi — resonansi. Di antaranya ia tetap kacau.
The shape races along the string, but no bit of string travels — each point just bobs in place. That is the deep surprise of a wave: motion of a pattern, not of stuff. And all of it is the one equation below, applied at every point.
Bentuknya melesat di sepanjang senar, tapi tak ada bagian senar yang berpindah — tiap titik hanya mengangguk di tempat. Itulah kejutan mendalam sebuah gelombang: gerak sebuah pola, bukan gerak materi. Dan semuanya adalah satu persamaan di bawah, diterapkan di tiap titik.
Each row is one snapshot of the string; time runs downward. Travelling waves show up as diagonal stripes (a bump moving), reflecting off the walls. This "X" pattern is the signature of the wave equation.
Tiap baris adalah satu potret senar; waktu mengalir ke bawah. Gelombang berjalan muncul sebagai garis-garis diagonal (sebuah punuk yang bergerak), memantul dari dinding. Pola "X" inilah tanda tangan persamaan gelombang.
🔗 Those clean humps at whole-number driver settings are Fourier modes — the Fourier bridge → shows why a plucked string is a sum of them.🔗 Punuk rapi pada setelan penggerak bilangan bulat itu adalah mode Fourier — jembatan Fourier → menunjukkan kenapa senar yang dipetik adalah jumlahannya.
The explicit scheme is only stable when the CFL number $C = c\,\Delta t/\Delta x \le 1$: within one time step, information must not skip past a grid cell. Break it and the numbers explode — not because the physics is wrong, but because the solver outran the wave.
Skema eksplisit hanya stabil ketika bilangan CFL $C = c\,\Delta t/\Delta x \le 1$: dalam satu langkah waktu, informasi tak boleh melompati satu sel grid. Langgar itu dan angkanya meledak — bukan karena fisikanya salah, tapi karena solver-nya mendahului gelombang.
Change one sign from the wave equation (a first time-derivative instead of a second) and the character flips completely. Instead of travelling and bouncing forever, a hot spot spreads out and fades. Heat in a rod, ink in water, a rumour in a crowd — all obey $u_t = \alpha\,u_{xx}$. It is the arrow of time made into an equation.
Ubah satu tanda dari persamaan gelombang (turunan-waktu pertama, bukan kedua) dan karakternya berbalik total. Alih-alih merambat dan memantul selamanya, sebuah titik panas menyebar dan memudar. Panas di batang, tinta di air, rumor di kerumunan — semua mematuhi $u_t = \alpha\,u_{xx}$. Inilah panah waktu yang dijadikan persamaan.
Or drag to paint a temperature profile, then play.
Atau seret untuk melukis profil suhu, lalu putar.
This is the physical object: a metal bar, hot spots glowing, cool spots dark. The curve below is the same thing plotted as height. Watch the colours smear together — heat flowing from hot to cold — which is nothing but the equation moving each point toward the average of its neighbours.
Inilah objek fisiknya: sebatang logam, titik panas berpendar, titik dingin gelap. Kurva di bawah adalah hal yang sama diplot sebagai tinggi. Lihat warnanya melebur — panas mengalir dari panas ke dingin — yang tak lain adalah persamaan menggeser tiap titik menuju rata-rata tetangganya.
No diagonal stripes here — just a warm blob that softens and bleeds outward as time runs down. Diffusion has no memory of the exact starting shape; wave motion never forgets it. Two signs of a derivative, two opposite worlds.
Tak ada garis diagonal di sini — hanya gumpalan hangat yang melunak dan merembes keluar seiring waktu turun. Difusi tak punya ingatan akan bentuk awal yang persis; gerak gelombang tak pernah melupakannya. Dua tanda sebuah turunan, dua dunia yang berlawanan.
🔗 Diffusion smooths by killing high frequencies — the Fourier bridge → shows this as the multiplier $e^{-\alpha k^2}$, one number per mode.🔗 Difusi menghaluskan dengan membunuh frekuensi tinggi — jembatan Fourier → menunjukkannya sebagai pengali $e^{-\alpha k^2}$, satu angka per mode.
The explicit scheme is stable only when $r = \alpha\,\Delta t/\Delta x^2 \le \tfrac{1}{2}$. Because $\Delta x^2$ sits in the denominator, doubling the grid resolution forces a 4× smaller time step — the reason fine simulations are so expensive, and a big motivation for the ML surrogates next door.
Skema eksplisit stabil hanya ketika $r = \alpha\,\Delta t/\Delta x^2 \le \tfrac{1}{2}$. Karena $\Delta x^2$ ada di penyebut, menggandakan resolusi grid memaksa langkah waktu 4× lebih kecil — alasan simulasi halus begitu mahal, dan motivasi besar bagi surrogate ML di seberang.
Everything in this playground is a rule about derivatives. What changes is how many variables the rule touches, and how the time-derivative appears.
Semua di playground ini adalah aturan tentang turunan. Yang berubah hanyalah berapa variabel yang disentuh aturan, dan bagaimana turunan-waktu muncul.
| Depends onBergantung pada | TypeJenis | CharacterKarakter | Seen inTerlihat di | |
|---|---|---|---|---|
| Cooling / logisticPendinginan / logistik | time onlywaktu saja | ODE, 1st orderODE, orde 1 | settles to an equilibriummengendap ke kesetimbangan | tab 1 |
| Spring / pendulumPegas / bandul | time onlywaktu saja | ODE, 2nd orderODE, orde 2 | oscillates, conserves energyberosilasi, kekal energi | tab 2 |
| Lorenz | time onlywaktu saja | ODE, nonlinearODE, nonlinear | chaotic, unpredictablechaotic, tak terramalkan | tab 3 |
| WaveGelombang | space + timeruang + waktu | PDE, hyperbolicPDE, hiperbolik | travels & reflects, remembersmerambat & memantul, mengingat | tab 4 |
| DiffusionDifusi | space + timeruang + waktu | PDE, parabolicPDE, parabolik | spreads & smooths, forgetsmenyebar & menghaluskan, melupakan | tab 5 |
1 · A model is only as good as its solver. Euler invented energy; a too-big time step blew up the wave and the heat. Every classical simulation trades accuracy for compute, step by tiny step — and must re-run from scratch for every new setup. That cost is exactly what neural operators try to buy back.
1 · Sebuah model hanya sebaik solver-nya. Euler menciptakan energi; langkah waktu yang terlalu besar meledakkan gelombang dan panas. Setiap simulasi klasik menukar akurasi dengan komputasi, langkah demi langkah kecil — dan harus dijalankan ulang dari nol untuk tiap setelan baru. Ongkos itulah yang coba ditebus kembali oleh neural operator.
2 · Knowing the equation is not the same as knowing the answer. Lorenz is fully known and still unpredictable; the wave and heat equations need a whole grid marched through time. Scientific ML asks the mirror-image questions: can a network obey a known equation with almost no data (PINN)? recover an unknown equation from data (SINDy)? or learn the solver itself (DeepONet, FNO)?
2 · Mengetahui persamaan tak sama dengan mengetahui jawaban. Lorenz sepenuhnya diketahui namun tetap tak terramalkan; persamaan gelombang dan panas butuh seluruh grid dijalankan melintasi waktu. Scientific ML menanyakan pertanyaan cerminannya: bisakah jaringan menaati persamaan yang diketahui dengan nyaris tanpa data (PINN)? memulihkan persamaan yang tak diketahui dari data (SINDy)? atau mempelajari solver-nya sendiri (DeepONet, FNO)?
Continue to Scientific machine learning →Lanjut ke Scientific machine learning →